概率论基本概念

随机试验

• 相同条件重复进行

• 可能结果不止一个

• 试验前不能确定哪个结果会出现

样本空间

随机事件

随机事件概率

事件间的关系

四大公式

加法

减法

乘法

• 当相互独立时，

除法（条件概率）

相容性

古典概型（等可能概型）

• 试验结果只有有限个

• 每个基本事件发生的可能性相等

1. 放回抽样
每次抽出来的概率都一样。

2. 不放回抽样（超几何分布）

全概率公式

贝叶斯公式

伯努利概型

一维随机变量及其分布

离散型随机变量分布律

• 求法：先求取值，再求概率

复合求法（已知一个变量分布律求另一个）

例

二项分布

泊松分布

• 期望：

• 方差：

连续性随机变量相关计算

分布函数

• 规范性
且分段点处连续。
可以由此确定对分布函数求不定积分之后的常数值。
例

分布密度

• 规范性：
可以用来列方程求中的参数。

区间概率

均匀分布

正态分布

复合求法（已知其中一个分布函数求另一个）

1. 找的分段点：将的分段点带入

2. 根据分段点，分区间求的分布函数

3. 分布函数求导得密度函数。

例

二维随机变量及其分布

离散型

边缘分布律

• 将二维压缩为一维，只注重其中一个维度。

• 行行相加，列列相加。

条件分布律

独立性

1. 写成矩阵

2. 每行成比例就是独立的

• 验证对所有 是否满足，即联合概率等于边缘概率乘积

• 也可以直接举反例

两个离散型随机变量的分布律

• 列取值，求概率

连续型

• 注意：密度函数多为分段函数，求解的过程中需要保持分段状态

规范性

区域概率

边缘密度

条件密度

独立性

两个连续型随机变量的函数分布

1. 由求的分段点
1. 由的非零的边角点代入

2. 分区间求分布函数

3. 求导求概率密度

随机变量的数字特征

期望

• 一维：

• 二维：
• ，为联合密度

方差

协方差

• （交换律）

• （分配律）

相关系数

• ：xy不相关
• ：xy满足线性关系

各种分布特征

伯努利分布

• n重试验

• 独立

• 只有两种结果

指数分布

切比雪夫不等式

例

大数定律

中心极限定理

1. 多个变量

2. 独立

3. 同分布

归纳

1. 求正态分布

2. 标准化

3. 查表得答案

例