含参量正常积分

F(y)=∫abf(x,y) dx      x∈[c,d]F(y) = \int_a^b f(x, y) \, dx\,\,\,\,\,\,x\in[c,d]

连续性

f(x,y)f(x,y)连续则F(y)F(y)连续

性质

积分号和极限号可交换
lim⁡y→y0F(y)=lim⁡y→y0∫abf(x,y) dx=∫ablim⁡y→y0f(x,y) dx=F(y0)\lim_{y\to y_0} F(y)=\lim_{y\to y_0} \int_a^b f(x, y) \, dx=\int_a^b\lim_{y\to y_0}f(x, y) \, dx=F(y_0)

可积性

f(x,y)f(x,y)连续则F(y)F(y)可积

性质

二重积分号可交换
∫cd(∫abf(x,y) dx)dy=∫ab(∫cdf(x,y) dy)dx\int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx

可微性

f(x,y),fx′(x,y)f(x, y),f'_x(x, y) 均连续则F(y)F(y)可微

性质

积分和求导可交换
F′(y)=∫ab∂f∂y(x,y) dxF'(y) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \, dx
💡
当积分上下限都是函数，上面三个性质的条件都需要加上上下限函数连续。
特别地，在可微性中，性质变成
F′(y)=f(b(y),y)⋅b′(y)−f(a(y),y)⋅a′(y)+∫a(y)b(y)∂f∂y(x,y) dxF'(y) = f(b(y), y) \cdot b'(y) - f(a(y), y) \cdot a'(y) + \int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \, dx

含参量反常积分

一致收敛性

设f(x,y) f(x, y) 在区域 [a,+∞)×[c,d] [a, +\infty) \times [c, d] 上定义，且对于每个 y∈[c,d]y \in [c, d]，反常积分
F(y)=∫a+∞f(x,y) dxF(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, dx
收敛。
如果对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 N>a N>a，使得当积分上限M>NM>N时，对于所有 y∈[c,d]y \in [c, d] 和所有 b>Mb > M，有
∣∫aMf(x,y) dx−F(y)∣<ε  ⟹  ∣∫M∞f(x,y) dx∣<ε\left| \int_a^M f(x, y) \, dx - F(y) \right| < \varepsilon\\\implies\left| \int_M^\infty f(x, y) \, dx \right| < \varepsilon
则称反常积分一致收敛于F(y)F(y)（对任意y均成立）

Cauchy收敛准则

对反常积分
∫c∞f(x,y) dy\int_{c}^{\infty} f(x, y) \, dy
一致收敛的充要条件
∀ε>0, ∃M>c, s.t. ∀A1,A2>M,∀x∈I:∣∫A1A2f(x,y) dy∣<ε\forall\varepsilon>0,\,\exist M>c,\,s.t.\,\forall A_1,A_2>M,\forall x\in I:\\\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, y) \, dy \right| < \varepsilon

上确界判断（难求）

lim⁡A→+∞F(A)=0,F(A)=sup⁡x∈I∣∫A+∞f(x,y) dy∣.\lim_{A \to +\infty} F(A) = 0,\\F(A) = \sup_{x \in I} \left| \int_{A}^{+\infty} f(x, y) \, dy \right|.

M判别法

传递收敛
∫c∞f(x,y) dy∣f(x,y)∣≤M(y)∫c∞M(y) dy收敛即可\int_{c}^{\infty} f(x, y) \, dy\\|f(x, y)| \leq M(y)\\\int_{c}^{\infty} M(y) \, dy\quad收敛即可

Dirichlet判别法

一致有界*一致收敛于0
notion image

Abel判别法

一致收敛*单调一致有界
notion image

连续性

一致收敛即连续·
notion image
则反常积分和极限可互换
notion image

可积性

连续→积分可互换
notion image

可导性

原函数，偏导函数连续，原函数收敛，偏导函数一致收敛→积分求导可交换
notion image

Euler积分

Γ\Gamma函数

Γ(s)=∫0∞xs−1e−x dxs>0\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-x} \, dx\quad s>0

性质

  • 连续
  • 可导
    • 无穷阶可导
    • 积分号下可导
  • 递推性
      • Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma (s)
    • Γ(1)=1, Γ(12)=π\Gamma(1)=1,\,\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}
    • Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!

图像

notion image

其他形式

  • x=y2x=y^2
Γ(s)=2∫0+∞y2s−1e−y2 dy\Gamma(s) = 2 \int_{0}^{+\infty} y^{2s-1} e^{-y^2} \, dy
  • x=pyx=py
Γ(s)=ps∫0+∞ys−1e−py dy\Gamma(s) = p^s \int_{0}^{+\infty} y^{s-1} e^{-py} \, dy

B函数

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1 dxp>0,q>0B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, dx\quad p>0,q>0

性质

  • 连续
  • 可导
    • 无穷阶可偏导
    • 积分号下可偏导
  • 对称性
    • B(p,q)=B(q,p)B(p, q)=B(q,p)
  • 递推性
      • B(p,q)=q−1p+q−1B(p,q−1)B(p,q)=p−1p+q−1B(p−1,q)B(p,q)=(p−1)(q−1)(p+q−1)(p+q−2)B(p−1,q−1)B(p, q) = \frac{q-1}{p+q-1} B(p, q-1)\\B(p, q) = \frac{p-1}{p+q-1} B(p-1, q)\\B(p, q) = \frac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)} B(p-1, q-1)
    • B(1,q)=1q,B(p,1)=1pB(1, q) = \frac{1}{q},B(p, 1) = \frac{1}{p}
    • B(12,12)=πB\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi

其他形式

  • x=cos⁡2φx=\cos^2 \varphi
B(p,q)=2∫0π2sin⁡2q−1φcos⁡2p−1φ dφB(p, q) = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2q-1} \varphi \cos^{2p-1} \varphi \, d\varphi

两函数联系

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}
 
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